范畴(Category)#

一个范畴$\mathcal{C}$由以下三个数学实体组成:

• 一个类 ob($\mathcal{C}$), 其元素为对象(Object)
• 一个类 hom($\mathcal{C}$), 其元素为态射(morphism, 又称映射或箭头)

  每一个态射$f$有一个源对象 a 和目标对象 b, 表达式$a\mapsto b$, 表述为$f$是从 a 到 b 的态射 表达式$hom(a,b)$或$mor_\mathcal{C}(a,b)$或$\mathcal{C}(a,b)$表示对象 a 到对象 b 的所有态射组成的集合, 称为同类态(Hom-class)

态射的复合

• 二元运算$\circ$: 态射的复合是一个二元函数, 他将两个态射结合到一起, 形成一个性的态射, 这个复合操作定义为: $$\circ: hom(b,c)\times hom(a,b) \mapsto hom(a,b)$$
• 公理:

1. 结合律: 对于任意三个态射$f:a\mapsto b,\quad g:b\mapsto c和h:c\mapsto d$复合满足结合律:

   $$h\circ(g\circ f) = (h\circ g)\circ f$$

   姥姥的妈 === 妈的姥姥

2. 单位元: 对于每个对象 $x$，存在一个称为单位态射的特殊态射$1_x:x\mapsto x$ （也记作 $id_x$），使得对于任意态射 $f:a\mapsto b$，以下等式成立：

   $$1_b\circ f=f=f\mapsto 1_a$$

   ​ 这表明单位态射在复合中起到“中性元素”的作用，与任何态射的复合都不改变该态射。

3. 单位态射的唯一性 从上述公理可以证明，对于每个对象，存在恰好一个单位态射。这是范畴论中一个重要的性质，它保证了复合操作的一致性和稳定性。

态射(Mophism)#

每个态射都与两个对象相关联, 即源和目标, 从 X 到 Y 的态射 f 是源为 X, 目标为 Y 的态射 态射之间的关系(如 fg=h)通常用交换图来表示, 其中”点”表示对象, “箭头”表示态射

自然变换（Natural Transformations）#

• 定义：自然变换是连接两个函子的映射，这些函子具有相同的源范畴和目标范畴。自然变换保持了函子之间的结构关系，是范畴论中描述函子之间关系的基本工具。

• 组成：如果有两个从范畴 $C$ 到范畴 $D$ 的函子 $F$ 和 $G$，一个自然变换 $\eta$ 从 $F$ 到 $G$ 包括：

  • 对于 $C$ 中的每个对象 $x$，有一个 $D$ 中的态射 $\eta_x: F(x) \to G(x)$；
  • 这些态射必须满足自然性条件，即对于 $C$ 中的任意态射 $f: x \to y$，以下图表是可交换的：

这意味着 $G(f) \circ \eta_x = \eta_y \circ F(f)$。

• 自然性：自然变换的自然性条件意味着，无论在源范畴 $C$ 中选择哪个态射 $f$，相关的自然变换态射 $\eta_x$ 和 $\eta_y$ 与函子 $F$ 和 $G$ 之间的交互是一致的。这保证了自然变换在范畴论中的一致性和协变性。